تجسم تصویری از یک تصاعد نامتناهی
تجسم تصویری از یک تصاعد نامتناهی
چکیده:
این طرح درس با استفاده از به تصویر کشیدن یک سری نامتناهی از اعداد کسری، کمک می کند تا دانش آموزان مفهوم چنین سری اعدادی را مستقیماً درک کنند و به چشم خود ببینند که یک تصاعد با تعداد جمله های نامحدود، می تواند به یک پاسخ متناهی و یک حاصل جمع مشخص ختم شود. ضمن اینکه بین اشکال هندسی و سری های اعداد رابطه برقرار خواهند کرد. علاوه بر اینها، تصویر کردن کسرهای تواندار را نیز تجربه خواهند کرد.
با فاصله از هم جدا کنید.
توضیح اولیه:
این طرح درس با استفاده از به تصویر کشیدن یک سری نامتناهی از اعداد کسری، کمک می‌کند تا دانش آموزان مفهوم چنین سری اعدادی را مستقیماً درک کنند و مشاهده کنند که یک سری نامتناهی، می‌تواند به یک پاسخ متناهی و یک حاصل جمع مشخص ختم شود. دانش‌آموزان با تکیه بر آموخته‌های خود در این درس می‌توانند بین اشکال هندسی و سری‌های اعداد ارتباط برقرار کنند. افزون بر اینها، تصویر کردن کسرهای تواندار را نیز تجربه خواهند کرد.
اهداف:
در پایان این جلسه دانش آموزان می‌توانند
-
مفهوم تصاعد هندسی نامتناهی را به کمک تصویر درک کنند.
-
امکان وجود حاصل‌جمع متناهی و مشخص برای مجموعه‌ا‌ی نامتناهی از اعداد را بپذیرند.
-
برای تصاعد‌های هندسی، تجسم تصویری پیدا کنند.
-
روابط بین تصاعد‌ها و سری‌های مختلف را بررسی کنند و با این بررسی‌ها حاصل‌جمع بعضی از سری‌های ناآشنا را پیش بینی کنند.
وسایل لازم:
-
برگه ی فعالیت A (با تصاویر رنگ نشده)، دو برگ کاغذ شطرنجی و مدادرنگی (برای جلسه‌ی اول).
-
کاغذ شطرنجی، مدادرنگی و ماشین حساب (برای جلسه‌ی دوم).
جلسه ی اول
پیش از شروع درس، مطمئن شوید که دانش آموزان مفهوم "نامتناهی"را از پیش می‌دانند. در صورتی که تشخیص دادید لازم است، با مثال‌هایی مفهوم بینهایت را به آنان یادآوری کنید. مثلاً می‌توانید از تکرار شدن تصویر به تعداد نامحدود در دو آینه‌ی روبروی هم استفاده کنید و عملاً به آنها نشان دهید که تصویرها تا بینهایت ادامه دارند. سپس برگه ی فعالیت A را به آنان بدهید و از آنها بخواهید تا قسمت سمت چپ از تصویر اول را رنگ‌آمیزی کنند. از آنها بخواهید تا کسر مربوط به قسمت رنگ شده را در کنار شکل بنویسند.
در گام بعد قسمت سمت چپ از ذوزنقه‌ی کوچکتر در تصویر دوم را نیز رنگ بزنند و کسر مربوط به آن را بنویسند. احتمال دارد در نوشتن این کسر احتیاج به راهنمایی داشته باشند. یادآوری کنید که ذوزنقه‌ی اصلی باید به عنوان واحد و برابر با یک در نظر گرفته شود و ذوزنقه‌ی کوچک 
از ذوزنقه‌ی اصلی است. پس از کل رنگ شده است. یعنی 2() که به قبل اضافه شده است. این کار را برای تصویر سوم نیز تکرار کنید و 3() + را در کنار شکل بنویسید. از آنان بخواهید که فرض کنند در تصویر چهارم، n بار تقسیم کردن ذوزنقه به 4 قسمت و رنگ کردن یک قسمت از آن تکرار شده است. پس کسر مربوط به آخرین قسمت n() خواهد بود، که به کسرهای قبل اضافه می‌شود. حالا مجموع همه‌ی کسرهای به دست آمده را به این شکل روی تخته‌ی کلاس بنویسید:
توضیح دهید که:
مجموع این جملات، در واقع مقدار رنگ شده از ذوزنقه‌ی اصلی را در شکل چهارم نشان می‌دهد. از آنها بخواهید تا تصور کنند این کار را بی شمار بار تکرار کنیم و به تقسیم کردن ذوزنقه‌ها تا بینهایت ادامه دهیم. در این صورت باید سری بالا را به این شکل کامل کنیم:
حالا از دانش آموزان بخواهید تا حاصل جمع نهایی را حدس بزنند. یادآوری کنید که با دقت کردن در تصویر به جواب خواهند رسید. در نهایت (پس از آن‌که دانش‌آموزان پاسخ دادند) پاسخ 
را در طرف دوم تساوی قرار داده و برای آنها توضیح دهید که «شاید فکر کنید اگر به حد کافی به اضافه کردن جمله‌های این تصاعد ادامه دهیم، مقدار نهایی آن نیز بدون هیچ محدودیتی افزایش خواهد یافت و به بینهایت خواهد رسید. اما در تصویر می‌بینیم که قسمت رنگ شده هیچ‌گاه از ذوزنقه‌ی اول بیرون نخواهد رفت و همواره به شکل هندسی محدود خواهد بود. پس پاسخ این حاصل‌جمع، عددی متناهی است».
حالا مرحله ی بعد را اجرا کنید. به هر دانش آموز یک برگ کاغذ شطرنجی بدهید و از آنان بخواهید که یک مربع به ضلع 32 خانه در آن رسم کنند. سپس یک قطر مربع را رسم کنند و آن را به دو نیمه‌ی مساوی تقسیم نمایند، نیمه ی سمت چپ را رنگ کنند و مثلث رنگ نشده را نیز با یک خط به دو مثلث مساوی تقسیم کنند و باز هم مثلث سمت چپ را رنگ کنند. این تقسیم‌ها و رنگ کردن یک نیمه را تا آنجا که می‌شود ادامه دهند و سعی کنند برای هر مرحله کسر مربوط را بنویسند و آنها را با هم جمع کنند. فرض کنند این تقسیمات را به تعداد نامحدود ادامه دهیم. پس سری مربوط به آن، به این صورت در خواهد آمد:
حالا توجه آنها را به این موضوع جلب کنید که هیچ گاه پیش نمی‌آید که ما ناحیه‌ای خارج از مربع را رنگ آمیزی کنیم. پس باز هم پاسخ این مجموع، یک عدد متناهی خواهد بود؛ اما «چه عددی؟». از دانش آموزان بخواهید تا با نگاه کردن به تصویر، حاصل جمع را حدس بزنند و رابطه را به صورت زیر کامل کنند:
شما نیز رابطه‌ی دوم را درست در زیر رابطه‌ی اول، روی تخته‌ی کلاس بنویسید و بعد این سری جدید را اضافه کنید:
از دانش‌آموزان بپرسید که آیا می‌توانند پاسخ این یکی را پیش بینی کنند؟ بخواهید تا الگویی با توجه به دو تساوی قبل پیدا کنند و در نهایت پاسخ را حدس بزنند؛ در غیر این صورت خود شما به عنوان یک حدس، عدد
را اعلام کنید و از آنان بخواهید تا برای اثبات آن دست به کار شوند. روی کاغذ شطرنجی یک مربع به ضلع 27 خانه رسم کنند و آن را به سه ردیف مساوی (هرکدام به مساحت 27*9 خانه) تقسیم کنند و ردیف پایینی را رنگ بزنند. «این چه کسری است؟». پاسخ را در زیر تصویر ثبت کنید. سپس از آنها بخواهید ردیف وسطی را به سه ستون مساوی (9*9) تقسیم کنند و قسمت سمت راست را رنگ کنند. «حالا چه کسری به کسر قبل اضافه شده؟»؛ از یا 2(). این عدد را به اضافه کنید و از دانش‌اموزان بخواهید که قسمت وسط را باز هم به سه قسمت مساوی تقسیم کنند و ردیف پایینی را رنگ بزنند. حالا 2() به مجموع قبل اضافه شده است. دانش آموزان باید در مرحله‌ی بعد هم ردیف وسطی را به سه ستون تقسیم کنند و قسمت سمت راست را رنگ بزنند؛ به همین ترتیب این روش را ادامه بدهند و در هر مرحله نیز جمله‌ی جدیدی به تصاعد اضافه کنند:
حالا با توجه به شکل می‌توانند پاسخ مجموع جمله‌ها را در صورتی که کار تقسیم تا بینهایت ادامه پیدا کند، حدس بزنند و تساوی را کامل کنند.
(در صورت نیاز از بچه‌ها بخواهید قطر مربع را رسم کنند تا متوجه شوند که هر قسمت خالی در نیمه‌ی راست مربع، مساوی با یک قسمت رنگ شده از نیمه‌ی سمت چپ آن است).
حالا در مرحله‌ی آخر از دانش‌آموزان بخواهید تا پاسخ این یکی را بر اساس رابطه‌های قبلی حدس بزنند:
که در آن a عدد طبیعی است. احتمالاً دانش‌آموزان در انتها پاسخ 
را پیشنهاد خواهند کرد.
تنها مشکل باقیمانده این است که آیا این رابطه را با استفاده از تصویر نیز می‌توان نشان داد یا خیر؟ از آنان بخواهید تا درباره این موضوع فکر کنند و اگر پیشنهادی داشتند در جلسه‌ی بعد مطرح کنند.
جلسه ی دوم
برای یادآوری درس قبل، ابتدا سه رابطه ی تصاعدی و سپس رابطه ی چهارم را بر حسب a و n زیر هم روی تخته ی کلاس بنویسید و با دانش آموزان گفتگوی کوتاهی درباره ی آنها و تصاویر هر یک داشته باشید. سپس این پرسش را مطرح کنید که اگر a=5 باشد، رابطه به چه شکلی خواهد بود؟ پس از دریافت پیشنهادات دانش آموزان، این رابطه را روی تخته بنویسید:
از بچه‌ها نیز بخواهید تا پاسخ را پیش‌بینی کنند. با استفاده از الگویی که جلسه پیش درباره آن صحبت شده، احتمالاً پاسخ قابل پیش‌بینی است.
حالا برای اثبات درستی جواب، راه جدیدی را پیشنهاد کنید: از آنان بخواهید تا جمله‌ها را یکی‌یکی در ماشین حساب وارد کنند و با هم جمع کنند. بپرسید که آیا با هر بار اضافه کردن جمله‌ها، حاصل جمع به عددی که حدس زده‌اند نزدیک‌تر می‌شود یا نه؟
سپس از آنها بخواهید تا با استفاده از کاغذ شطرنجی، تصویری رسم کنند که این تساوی را نشان دهد (در صورتی که احساس کردید این کار احتیاج به زمان بیشتری دارد، می توانید این قسمت را به عنوان تمرینی برای کار در خانه، پیشنهاد دهید).
در مرحله‌ی آخر، با استفاده از روابط ریاضی و به کمک دانش‌آموزان، این رابطه را به صورت کلی اثبات کنید:
فرض می کنیم که عدد S حاصل‌جمع سری مورد نظر ما است. پس داریم:
حالا یک تدبیر هوشمندانه به کار می‌بریم! هر دو طرف این تساوی را در 
ضرب کرده و جمله‌های مشابه را زیر هم می‌نویسیم:
حالا تساوی دوم را از اولی کم می‌کنیم. نتیجه را مشاهده کنید:
همان پاسخی است که انتظار داشتیم!
پس از این اثبات، دانش‌آموزان را وارد چالش جدیدی کنید: «آیا فکر می کنید صورت این کسرها حتماً باید عدد یک باشد؟! نمی شود هر عدد مثبت یا حتی منفی به جای آن بگذاریم؟». یعنی به این شکل:
(تذکر دهید که 
همواره باید کمتر از یک باشد تا تصاعد ما دارای جواب متناهی و معین شود). حالا از دانش‌آموزان بخواهید تا خودشان با استفاده از محاسبات ریاضی، درستی تساوی بالا را تحقیق کنند.
ارزشیابی:
در جلسه‌ی اول، بررسی برگه‌ی فعالیت و تصویرهایی که در کاغذ شطرنجی رسم شده‌اند برای ارزشیابی کار دانش‌آموزان کافی است. در جلسه‌ی دوم نیز تصویر پیشنهادی آنها برای تصاعد 
و بعد چگونگی اثبات تصاعد 
را برای ارزشیابی کار آنها در نظر بگیرید. هم‌چنین اگر دانش‌آموزان برای مجموع جملات تصاعد با قدر نسبت تصویری پیشنهاد کردند، می‌توانید این تصویر را بررسی کنید و در صورت درستی، به دانش‌آموز طراح آن امتیاز تشویقی بدهید.
آشنایی با ماشین های ساده - روز نخست
آشنایی با ماشین های ساده - روز نخست
چکیده:
ماشین های مرکب همگی از چند ماشین ساده درست شده اند. ماشین های ساده در آسان کردن کارها به ما کمک می کنند و شش دسته اند.
اهداف:
پس از دسته بندی و تعریف ماشین های ساده، دانش آموزان قادر خواهند بود شش دسته ی اصلی ماشین ها را به راحتی شناسایی کنند.
وسایل لازم:
- 50 وسیله ی مختلف که در آن ها از ماشین های ساده استفاده شده است.
- برگه ی تعاریف
- برگه ی کار جستجو برای ماشین های ساده
- فضای کافی برای کار گروهی
اطلاعات پایه:
می توان برای سنجش میزان اطلاعات پایه ی دانش آموزان درباره ی ماشین ها، با این سوال شروع کرد که آنها چگونه می توانند یک حیوان بزرگ را در یک باغ وحش جابجا کنند؟
شروع درس:
- هر کس که تا به حال به باغ وحش رفته است، دستش را بالا بگیرد.
- چند تا از بزرگ ترین حیواناتی که در باغ وحش دیده اید نام ببرید.
- فرض کنید وقتی در باغ وحش اید، نگهبان باغ وحش از شما می پرسد چگونه می توان یکی از بزرگ ترین حیوانات را جابجا کرد. شما به او چه خواهید گفت؟
- اول کمی فکر کنید.
- درباره ی جوابتان با فردی که کنار شما نشسته است مشورت کنید.
- حالا چند راه مختلفی را که به نگهبان پیشنهاد خواهید داد، در کلاس مطرح کنید.
دنباله ی فعالیت: - بعضی از شما گفتید برای این کار باید از ماشین ها استفاده کنیم.
- وقتی کلمه ی ماشین را می شنوید، چه تصوری از یک ماشین دارید؟
- برای چه از ماشین ها استفاده می کنیم؟
- تمام ماشین ها برای ساده تر کردن کارها طراحی شده اند.
- تمام ماشین های مرکب با تمام پیچیدگی شان، بر پایه ی ماشین های ساده ساخته شده اند.
- کسی می تواند توضیح دهد یک ماشین ساده چیست؟
ماشین ساده ماشینی است که از یک یا چند جزء تشکیل شده و می تواند کارها را ساده تر کند. - ماشین های ساده در شش گروه اصلی دسته بندی می شوند و ما در این کلاس می خواهیم ماشین های مختلف را در این شش گروه قرار دهیم. بهتر است اول با این گروه ها آشنا شوید:
• اهرم: یک تخته یا تیر که روی یک تکیه گاه قرار دارد.
• تکیه گاه: به نقطه ای می گوییم که اهرم حول آن می گردد.
مثال: دیلم، الاکلنگ، ...
• سطح شیب دار: سطح صافی که یک سمت آن ارتفاع بیشتری نسبت به سمت دیگر دارد. به کمک این ماشین شما می توانید به راحتی یک جسم را به مکانی با ارتفاع بیشتر یا کمتر منتقل کنید.
مثال: سرازیری ، جاده های کوهستانی، ...
• چرخ و محور: محور میله ای است که از چرخ می گذرد و به چرخ اجازه می دهد تا بچرخد. به کمک چرخ و محور جابجا کردن اجسام از یک نقطه به نقطه ای دیگر ساده می شود.
مثال: چرخ اتومبیل، اسکیت، واگن های قطار، چرخ دنده
• پیچ: ماشین ساده ای است که در واقع از یک ماشین ساده ی دیگر ساخته شده است. پیچ در واقع یک سطح شیب دار است که به دور یک میله پیچیده شده است. بعضی از پیچ ها برای بلند کردن یا پایین آوردن اجسام به کار می روند. بعضی دیگر برای نگاه داشتن اجزای یک دستگاه در کنار یکدیگر به کار می روند.
مثال: جک خودرو، گیره، ...
• گوه: ماشین ساده ای که برای دور کردن دو جسم از یکدیگر به کار می رود. گوه در واقع از ترکیب دو سطح شیب دار ساخته می شود . یک سمت گوه تیز است و می تواند دو جسم را از یکدیگر دور کند.
مثال: ناخن گیر، چاقو، تبر، ساطور
• قرقره: قرقره از یک چرخ و یک طناب ساخته شده است. طناب داخل شیار چرخ قرار می گیرد و یک سر طناب به وزنه یا بار وصل می شود. سر دیگر طناب در دست شماست. وقتی شما سر دیگر را بکشید، چرخ خواهد چرخید و بار حرکت خواهد کرد.قرقره ها به ما کمک می کنند جسمی را بلند کنیم یا پایین بریم. قرقره ها برای جابجا کردن اجسام به جاهایی که که دور از دسترس اند بسیار مفید اند. در ضمن با به کار بردن قرقره ها جابجا کردن اجسام سنگین بسیار ساده خواهد شد.
مثال: میله ی پرچم، جرثقیل، چوب پرده یا کرکره، ... - از دانش آموزان بخواهید تعاریف و مثال های خواسته شده در برگه ی تعاریف را بنویسند.
- حالا می خواهم به هر یک از شما دو ماشین ساده بدهم. از شما می خواهم با دقت به آن ها نگاه کنید و بگویید چگونه می توانند کارها را آسان کنند.
- (فکر کردن در باره ی ماشین های ساده ای که به آنها داده شده است.)
- چرا باید بدانیم که یک ماشین ساده چگونه کارها را آسان می کند؟
• زیرا با دانستن این نکته، می توانیم ماشین های ساده را دسته بندی کنیم. - پس از این که ماشین های ساده تان را کاملا بررسی نمودید، ماشین های خودتان را با یکی از هم کلاس هایتان مقایسه کنید. به تشابه ها و تفاوت های آن ها دقت کنید. بگویید ماشین های هر کدام از شما در کدام دسته قرار می گیرند؟
- حالا هر دو نفری که با هم در یک گروه قرار دارند، 4 ماشین ساده دارند.
- هر گروه باید ماشین های ساده ی خودش را با ماشین های ساده ی یک گروه دیگر مقایسه کند.
- بنابراین یه ازای هر 4 نفر، 8 ماشین ساده خواهیم داشت.
- سپس وقت آن خواهد شد که با توجه به نکاتی که آموختیم، بگوییم هر یک از این 8 ماشین در کدام یک از دسته های شش گانه جای دارد. در ضمن توجه کنید که هر یک چگونه کارها را آسان می کنند.
- سپس از دانش آموزان بخواهید در گروه های 8 نفره قرار بگیرند. بنابراین برای هر 8 نفر 16 ماشین ساده خواهیم داشت.
- پیش از شروع مرحله ی بعد لازم است یادآوری کنم که در کار گروهی لازم است به صحبت های تمام افراد گوش داد. بنابراین لازم است که افراد به نوبت صحبت کنند.
- در ضمن مهم است که دقت بسیار زیادی در مورد ماشین ها داشته باشیم. زیرا بسیاری از آن ها دارای لبه هایی تیز و برنده اند. بنابراین در هنگام انجام این فعالیت هیچ کس نباید شیطنت کند و درغیر این صورت باید تنها به فعالیت سایرین نگاه کند و حق شرکت در کارها را نخواهد داشت.
- اگر کسی در مورد مراحل کارسوالی دارد بپرسد.
- هنگامی که شما مشغول انجام کارها هستید، من به نوبت به هر گروه خواهم آمد تا اگر کسی سوالی دارد، جواب دهم.
- پس از توضیح دادن مراحل کار، زمان آن است که ماشین ها را بین دانش آموزان پخش کنید.
- ابتدا هر دانش آموز به تنهایی ماشین هایش را بررسی خواهد کرد.
- حال از دانش آموزان بخواهید با یک نفر هم گروه شوند.
- در این مرحله باید گروه های 4 نفره تشکیل شود. در ضمن دانش آموزان در این مرحله باید ماشین هایشان را بر طبق تعریف در گروه های شش گانه دسته بندی کنند.
- در مرحله ی آخر دو گروه بزرگ 8 نفره خواهیم داشت و دانش آموزان باید تمامی 16 ماشین را در گروه های شش گانه دسته بندی کنند.
- به دانش آموزان بگویید در پایان کار از هر گروه 6 نفر به عنوان نمایندگان گروه انتخاب خواهند شد. این نمایندگان باید توضیح دهند که چگونه ماشین های مختلف دسته بندی شدند. آن ها باید یک لیست از اهرم ها، قرقره ها، گوه ها، سطوح شیب دار، چرخ و محورها، و پیچ های موجود در گروه را ارائه دهند.
پایان: - لیست های نمایندگان گروه ها را با یک دیگر مقایسه کنید.
• دقت کنید که به هر گروه چه ماشین هایی داده اید.
• آیا دانش آموزان ماشین های مشابه را در گروه های یکسان قرار داده اند؟ - دانش آموزان باید توجه به لیست ها بگویند که چه هنگام از اهرم، گوه، سطح شیب دار، پیچ، چرخ و محور و یا قرقره استفاده می کنیم؟
- چرا از ماشین های ساده استفاده می کنیم؟
- یک ماشین ساده را تعریف کنید.
تکلیف: - لطفا تکالیف جلسه ی آینده را در دفترچه های خود یادداشت کنید:
- امشب شما باید در یک جستجوی کامل در داخل منزل خود، ماشین های ساده ی داخل خانه را بیابید و برگه های جستجو را پر کنید. شما باید برای هر گروه ماشین های ساده چند مثال بیابید و به این دو سوال پاسخ دهید: کدام بخش خانه بیشترین تعداد ماشین ساده را دارد و کدام بخش کمترین تعداد را داراست؟ (مثالاً اتاق خواب، حمام ، آشپزخانه و ...)
- هر کس سوالی دارد بپرسد.
- در ضمن لطفا برگه ی تعاریف خود را در جایی مطمئن نگاه دارید و برای جلسه ی آینده، وسایل امروز خود را همراه بیاورید.
ارزشیابی:
دانش آموزان در یک فعالیت گروهی مورد ارزیابی قرار می گیرند و نتایج آن در فرم مخصوص هر دانش آموز ثبت می شود. مبنای ارزیابی دانش آموزان، پاسخ های آن ها به پرسش های من و عملکرد آن ها در تکلیف ماشین های ساده است.
آتش سوزی مرگبار
آتش سوزی مرگبار
یک آتش سوزی بزرگ ... در جنگلی بزرگ ... هزاران درخت ... می‌سوزند و جز خاکستر چیزی نمی ماند ...
تا حالا به موضوع آتش سوزی در جنگل فکر کردید؟ موضوع دردناکیه وقتی می‌شنویم هزاران هکتار از جنگلها در فلان کشور بر اثر آتش سوزی سوختند ... خبر دردناکیه ... اما به نظرتون چطور می‌شود خسارات را کمتر کرد! نه منظور این نیست که چطوری پیش گیری کنیم فرض کنید آتش سوزی به هر حال، به هر دلیلی راه افتاد در چه شرایطی درختهای کمتری می‌سوزند؟ چیزهایی مثل باد، جنس درختها، رطوبت منطقه ... اینها دست ما نیست اما در کشورهایی مانند برزیل که صنعت تولید کاغذ بسیار گسترده ای دارند جنگلهای بسیار بزرگ مصنوعی وجود دارد که برای تولید مواد اولیه کارخانه های کاغذ سازی ایجاد شدند. برخلاف جنگلهای طبیعی توی این جنگلها فاصله و جای کاشته شدن درختها کاملاً قابل کنترل هست. و البته آتش گرفتن یک چنین جنگلهایی شاید باعث ورشکستگی بسیار سخت و بیکار شدن آدمهای زیادی بشه ... پس سؤالمان را به یک سؤال ساده تقلیل می‌دهیم توزیع محل کاشته شدن درختها چه طور باشد تا بعد از یک آتش سوزی تعداد درخت سالم بیشتری داشته باشیم؟
خوب فرض کنید جنگل بسیار انبوهی داشته باشیم. به وضوح با وقوع آتش سوزی دامنه آتش به راحتی گسترش پیدا می‌کند و با فرض اینکه هیچ تلاشی برای خاموش کردن آتش نکنیم بعد از مدت زمان محدودی تمامی جنگلها به خاکستر تبدیل می‌شود. اما اگر جنگل ما اصطلاحاً تنک باشد شاید رشد آتش متوقف شود و از مناطق آتش گرفته به مناطق مجاور گسترش نیابد ... یعنی فاصله درختان آنقدر زیاد باشد که با آتش گرفتن یک درخت یا تعدادی درخت، فقط خود آنها بسوزند نه اینکه آتش به راحتی به همسایه‌ها منتقل شود. اما خوب تنک کردن یک جنگل تا این حد شاید به این دلیل اقتصادی نباشد که در مساحت وسیعی از زمین تنها می‌توانیم تعداد کمی درخت داشته باشیم. یادتان نرود تهیه کل مواد اولیه یک کارخانه بزرگ به عهده ما و جنگلمان است!
برای ساده سازی فرض می‌کنیم جنگلها یک شبکه مربعی شکل است یعنی منطقه ای متشکل از هزاران مربع کنار هم مثل جدول کلمات متقاطع.
در هر مربع یا سایت می‌توانیم یک درخت داشته باشیم. یا اینکه اصلاً درختی در آن نباشد. داخل هر مربع را می‌توانیم با یک احتمال مشخص درخت بکاریم. هر چه این احتمال بیشتر باشد درختان بیشتری خواهیم داشت و هر چه این احتمال کمتر باشد جنگلمان تنک تر است.
پس سؤال قبلی به این صورت عوض می‌شود. در یک جنگل به صورت یک شبکه مربعی در هر مربع با چه احتمالی درخت کاشته شود تا در صورت آتش سوزی تمام درختان نسوزند.
فرض کنید اگر یک درخت آتش بگیرد یعنی یک مربع آتش بگیرد در صورتی که در 8 مربع همسایه با این مربع درختی وجود داشته باشد آنها هم آتش بگیرند. اما اگر در این 8 مربع هیچ درختی نبود فقط خود آن درخت اول بسوزد. با این مدل جنگل زیر با بروز یک آتش سوزی کاملاً خواهد سوخت.
خانه های سبز خانه های حاوی درختند.
اما در جنگل زیر اگر خانه سرخ رنگ آتش بگیرد فقط 4 درخت که به نوعی به آن متصلند خواهند سوخت.
البته واضح است که جنگل دوم جنگل تنک تری است.
در واقع درختانی که آتش می‌گیرند متعلق به یک خوشه هستند خوشه ای که درخت آتش گرفته اول نیز در آن خوشه بوده است. ما علاقه مندیم که هیچ وقت یک خوشه بسیار بزرگ نداشته باشیم. چون اگر یک درخت از این خوشه آتش بگیرد تعداد زیادی درخت خواهند سوخت. اگر جنگلمان خیلی انبوه باشد تمامی درختان به یک خوشه متعلق خواهند بود... درست است؟ و این یعنی زمینه یک فاجعه!
حالا بیایید برویم سر یک سؤال دیگر ...
فرض کنید یک توری فلزی در اختیار داریم که خانه هایشان مربعی هستند. یک توری آلومینیومی از همین‌ها که باهاش خانه مرغ و خروس می‌سازند.
به دو سر این توری یک باطری وصل می‌کنیم خوب حتماً یک جریانی در این توری برقرار می‌شود. حالا شروع می‌کنیم چیدن تکه تکه سیمها یعنی قطع کردن اتصالات مثل شکل زیر:
این باعث می‌شود کم کم مقاومت این شبکه یعنی مقاومت بین نقاط A و B زیاد شود. و اگر به کارمان ادامه دهیم بعد از مدتی اصلاً شبکه، جریانی را از خود عبور نمی دهد و مدار قطع می‌شود.
فرض کنید هر اتصال را با احتمال P قطع کنیم. یعنی به هر اتصال که می‌رسیم تاسمان را بیندازیم و با احتمال P آن اتصال را قطع کنیم و با احتمال (1-p) بدون اینکه آن را قطع کنیم از آن بگذریم.
در واقع وقتی جریان قطع می‌شود که خوشه اتصالات قطع شده یک خوشه بینهایت باشد ... می‌بینید چقدر این مسأله به مسأله قبلی شبیه است ...
اگر خودتان بیشتر فکر کنید کلی نکته جالب می‌یابید...
در این مسأله هم وقتی یک سیم را قطع می‌کنیم. اتصال بین دو تا از گره های توری قطع می‌شود. حتی برای ایجاد شباهت بیشتر می‌توانیم روند قطع کردن سیمها را به شکل زیر عوض کنیم:
به هر گروه که رسیدیم با احتمال P تمامی سیمهای متصل به آن گره را ببریم. در اصل آن گره را کلاً حذف کنیم. این کاملاً شبیه این است که یک درخت را از جنگلمان حذف کنیم. با حذف یک گره اتصال بین گره های مجاور از مسیر آن گره، قطع می‌شود. همانطور که در جنگل برداشتن یک درخت یا نبودن یک درخت در یک مربع اتصال بین مربع های ( درختهای ) مجاور آن درخت قطع شده را قطع می‌کند یا بهتر است بگویم اتصال از طریق یک واسطه از بین می‌رود.
پس حالا ما به جای اینکه برای پیدا کردن جواب سؤال اولمان راجع به جنگل مجبور باشیم هی جنگل آتش بزنیم! کافی است یک تکه طوری را برداریم و دست به کار شویم گفتیم که با افزایش احتمال کاشتن درخت یا مثلاً اینجا قطع نکردن گره‌ها خوشه های بزرگتری تشکیل می‌شود.
اما آیا با یک رفتار معمولی خطی سروکار داریم یعنی احتمال تشکیل خوشه بینهایت ( خوشه ای که تقریباً همه سایتها را در خود داشته باشد ) با افزایش احتمال وجود درخت در یک سایت یا بریده نشدن یک گره، به طور خطی افزایش می‌یابد؟
جواب این سؤال خیر است. در آزمایشهای ساده ای که با همین طوری سیمی انجام شده است نمودار زیر بدست آمده:
محور عمودی R نسبت اندازه بزرگترین خوشه تشکیل شده به اندازه کل شبکه است. و محور افقی P یعنی احتمال وجود درخت یا گره قطع نشده در هر سایت. همانطور که می‌بینید با افزایش P از صفر تا یک مقدار آستانه ( که اسم آن Pc است و خودش هم یعنی نسبت اندازه بزرگترین خوشه تشکیل شده به اندازه کل شبکه ) تقریباً صفر است؛ یعنی ما هیچ خوشه بزرگی که اندازه قابل ملاحظه ای داشته باشد نداریم. اما بعد از Pc اندازه خوشه‌ها به سرعت بزرگ می‌شوند و با رسیدن احتمال به 1 همانطور که انتظار داریم، بزرگترین خوشه کل شبکه را در بر می‌گیرد و نسبت اندازه آن به اندازه شبکه برابر 1 می‌شود.
تقریباً جواب مسأله پیدا شده کافی است احتمال کاشتن درخت در هر سایت را از Pc کمتر انتخاب کنیم تا هیچ اتفاق بدی نیافتد. این عدد Pc برای تمامی مسأله‌ها به همین شکل یک مقدار ثابت دارد به عبارتی Pc یک ثابت جهانی است که برای شبکه های دو بعدی مثل همین دو مثال، مقدار آن برابر Pc=0/59 است. برای شبکه های سه بعدی این مقدار 0.31 است یعنی تقریباً نصف! همانطور که انتظار داریم در شبکه های سه بعدی به علت آزادی بیشتر راههای فرار بیشتری وجود دارد و برای اینکه خوشه بینهایت نداشته باشیم باید سایتهای خالی بیشتری داشته باشیم ( احتمال پر بودن هر سایت کمتر باشد. )
حتی این مسأله را با شبیه سازی های کامپیوتری هم به راحتی می‌شود حل کرد ... نگاهی به applet های زیر بیندازید ....
اینم یکی دیگه!
