فرمول مساحت مثلث را کشف کنید.

فاطمه حاجی محمودی

طرح درس:
در این درس، فرمولی برای مساحت مثلث به دست خواهد آمد. دانش آموزان مساحت مستطیل و مربع را محاسبه می کنند و آنها را با مساحت مثلث هایی که در این شکلها می توان یافت، مقایسه می کنند.

اهداف:
محاسبه مساحت مستطیل و مربع
بدست آوردن فرمولی برای مساحت مثلث
استفاده از فرمول مساحت برای محاسبه مساحت مثلث و یا یافتن یکی از اندازه ها

وسایل لازم:
خط کش
قیچی
ماشین حساب
پرگه فعالیت "مربع ها و مستطیل ها"
فعالیت کامپیوتری "مساحت مثلث ها"
برگه فعالیت "مثلث های غیر مشخص"
اسلاید "نقشه مثلث برمودا"

روش تدریس:
قبل از این درس، لازم است دانش آموزان اندازه گیری ابعاد و محاسبه مساحت مستطیل و مربع را آموزش دیده باشند. برای آمادگی بیشتر، از بچه ها بخواهید تا دست کم اندازه های یک مربع و مستطیل را که در کلاس درس می بینند به دست آورند، ابعاد آن ها را یادداشت کنند و مساحت هر یک را حساب کنند. به عنوان مثال آنها می توانند مساحت کاشی های کف کلاس، پنجره ، تخته سیاه، یا تابلو اعلانات کلاس، سطح روی میزها یا قفسه ها و ... را به دست آورند. آنها را تشویق کنید تا آنجا که می توانند مساحت شکل های گوناگون را حساب کنند و نتایج کار خود را در کلاس اعلام کنند.
دانش آموزان را به گروه های سه نفره تقسیم کنید و هر سه نفر در فعالیت گروه مسئول هستند، ولی می توانید وظایف زیر را برای هر کدام تعریف کنید:

• مسئول یادداشت: ثبت تمام اطلاعات مهم
• مسئول محاسبات: تایید تمام اندازه گیری ها و محاسبات
• مسئول گزارش: گزارش اطلاعات مربوط به کلاس

برگه فعالیت "مربع ها و مستطیل ها" را بین بچه ها پخش کنید. هر عضو گروه باید ابعاد همه شکلهای روی برگه فعالیت را اندازه بگیرد و مساحت آنها را محاسبه کند. به آنها فرصت دهید تا قبل از ادامه کار، پاسخ ها و اندازه های خود را با اعضای گروه خود مقایسه کنند.
اگر لازم است، فرمول مساحت مستطیل را یادآوری کنید: عرض × طول = مساحت مستطیل(A=b*h).

سپس دانش آموزان باید با استفاده از خط کش یکی از قطرهای شکل های A و B و C را رسم کنند و هر شکل را از روی قطر آن با قیچی ببرند تا به دو قسمت تقسیم شود. بعد در هر گروه مساحت مثلث های به وجود آمده را تخمین بزنند.آنها می توانند این کار را به هر روش که می خواهند انجام دهند. یک روش آن است که تعداد مربع های موجود در هر شکل را بشمارند و مربع های نصف یا خرد شده را نیز با هم بشمارند تا مربع کامل حساب شود. روش دیگر درک این موضوع است که هر مثلث، مساحتی برابر با نصف مساحت شکل اصلی دارد (دانش آموزن می توانند این موضوع را با قراردادن نیمه دیگر روی آن ببینند). نتایج کار را در کل کلاس به بحث بگذارید.
به روش مشابه، دانش آموزان باید مساحت بزرگترین مثلث به وجود آمده در شکل D را که مانند شکل زیر به 3 قسمت تقسیم شده است، به دست آورند. همان طور که برای شکل های A و B و C انجام شد، دانش آموزان می توانند مساحت این مثلث را با شمردن مربع ها تخمین بزنند یا دو مثلث کوچکتر را طوری کنار هم قرار دهند تا شکلی شبیه مثلث بزرگتر ساخته شود.

ممکن است در هر گروه دانش آموزان نقاط دیگری از ضلع بالایی مستطیل را برای رسم مثلث ها انتخاب کنند. اما به هر حال هر دانش آموز باید این نکته را متوجه شود که مساحت مثلث بزرگتر برابر با نصف مساحت مستطیل اولیه است. نکته مهمتر این است که اعضای هر گروه درک کنند که محل قرار گرفتن راس بالایی مثلث روی ضلع مستطیل، تأثیری در این موضوع ندارد.

 برای آنکه به آنها فرصت بیشتری برای تجربه این موضوع بدهید، از آنها بخواهید تا فعالیت "مساحت مثلث ها" را انجام دهند.

دانش آموزان باید بفهمند که اگرچه شکل مثلث ممکن است تغییر کند، ولی قاعده، ارتفاع و مساحت آن تغییری نمی کند. برای تاکید بر این موضوع، از آنها بخواهید تا نقطه B را آنقدر جابه جا کنند که نقطه D درست بر روی نقطه A قرار بگیرد. همان طور که در تصویر می بینید، این کار یک مثلث قائم الزاویه با زاویه راست در رأس A بi وجود می آورد. حالا از آنها بخواهید تا نقطه B را دوباره آنقدر جابه جا کنند که نقطه D روی نقطه C قرار بگیرد. این کار هم یک مثلث قائم الزاویه با زاویه راست در رأس C به وجود می آورد. دانش آموزان به سرعت متوجه می شوند که این مثلث ها متجانس اند، پس مساحت های یکسان خواهند داشت.

در مورد نتایج در کلاس بحث کنید. از دانش آموزان بپرسید مساحت هر مثلث چه ارتباطی با مساحت شکل اولیه دارد؟ آنها باید فهمیده باشند که در هر مورد، مساحت مثلث برابر با یک دوم مساحت مستطیل است. (در اینجا ممکن است بخواهید فرمول A=1/2bh را به دانش آموزان بگویید، ولی اگر به آنها فرصت دهید تا خودشان فرمول را با استفاده از فعالیت بعدی و بحث های متوالی آن به دست آورند، ارزش بیشتری خواهد داشت.)
برگه فعالیت "مثلث های غیرمشخص" را در کلاس پخش کنید. در این پلی کپی اندازه های دو مثلث داده شده است. از دانش آموزان بخواهید تا مساحت مثلث ها را به دست آورند. به آنها اجازه دهید تا مساحت ها را از هر روشی که می خواهند به دست آورند، ولی آنها را به استفاده از آنچه به تازگی در مورد مساحت یافته اند تشویق کنید. دانش آموزان احتمالا متوجه می شوند که اولین مثلث، یک مثلث قائم الزاویه است، پس مساحت آن یک دوم مساحت مستطیلی است که از روی قطرش به دو قسمت تقسیم شده است. اما ممکن است در مورد مثلث دوم، درک این موضوع که مساحت آن برابر با نصف مساحت مستطیلی به ابعاد 4×3 است، برای آنها مشکل باشد. در حین این که بچه ها کار می کنند، در کلاس بگردید و با پرسش های خود، آنها را در رسیدن به این نتیجه راهنمایی کنید.

از دانش آموزان بخواهید فرمولی برای محاسبه مساحت مثلث کشف کنند. از آنها بخواهید تا دلایل خود را توضیح دهند و ثابت کنند که فرمولشان درست عمل می کند. برای هدایت آنها می توانید چنین پرسش هایی را طرح کنید: "مساحت یک مثلث چه ارتباطی با مساحت مستطیل دارد؟" و "فرمول مساحت مستطیل چیست؟" مراقب باشید تا پرسش هایتان را خیلی زود نپرسید و تعدادشان هم زیاد نباشد، چرا که یادگیری در صورتی که بچه ها خودشان فرمول را به وجود آورند، بسیار مؤثرتر است.

پرسش هایی برای دانش آموزان:
آیا مساحت دو مثلث با ارتفاع های مساوی، با هم برابر است؟ اگر بله، چرا و اگر نه چرا ؟ چند مثال بزنید.

(مساحت دو مثلث که ارتفاع برابر دارند، تنها در صورتی مساوی خواهد بود که دارای قاعده های مساوی نیز باشند. دو مثلث را که ارتفاع هر دو  4cm است، در نظر بگیرید: اگر قاعده یکی از آنها 3cm باشد، مساحت آن A = ½ × 3 × 4 = 6 خواهد بود و اگر قاعده مثلث دیگر 5cm باشد، مساحت آن A = ½ × 5 × 4 = 10  است. روشن است که مساحت ها برابر نیستند. از سوی دیگر، دو مثلث زیر مساحت های  یکسان دارند، زیرا اندازه ارتفاع و قاعده آنها با هم مساوی است و متفاوت بودن شکل آنها در مساحت شان تأثیری ندارد.)

برای بچه ها توضیح دهید که چگونه می توان از شکل های دیگری به جز مربع و مستطیل، برای به دست آوردن فرمول مساحت مثلث استفاده کرد.
 

(فرمول مساحت متوازی الاضلاع A=b*h است، که شبیه به همان فرمول مساحت مستطیل است. با دو قسمت کردن یک متوازی الاضلاع از روی قطر آن، دو مثلث متجانس تشکیل می شود که ما را به همان نتیجه قبلی می رساند. یعنی فرمول مساحت مثلث A=1/2bh خواهد بود.)

پرسش هایی برای معلم:

• آیا دانش آموزان برای یافتن مساحت مثلث های خود، از روشهای دیگری استفاده کردند؟اگر چنین بود، شما باتوضیح آنها چگونه برخورد کردید؟
• دانش آموزان از چه راههای دیگری نشان دادند که فعالانه مجذوب فرآیند یادگیری شده اند؟
• آیا بچه ها درک و دریافت خود را از اینکه چرا و چگونه فرمول A=1/2bh را به کار می بریم،نشان دادند؟
• آیا هنگامی که از آنان خواستید تا درستی کار یکدیگر را بررسی کنند، هیچ برخورد منفی یا مثبتی مشاهده کردید؟
• آیا در هنگام تدریس ایجاد هیچ تغییری را لازم دانستید؟ اگر بله، در کجا و چگونه این تغییر باید انجام شود؟

ارزشیابی:
مثلث برمودا ناحیه ای مثلث شکل است که در محدودۀ بین سن جوان در پرتوریکو، میامی در فلوریدا و برمودا واقع شده است. با استفاده از یک نقشه، دانش آموزان باید ابعاد مثلث برمودا را اندازه بگیرند و با کمک مقیاسی که  نقشه دارد، مساحت واقعی مثلث برمودا را حساب کنند. شما می توانید از اسلاید "نقشه مثلث برمودا" برای نشان دادن این ناحیه به دانش آموزان استفاده کنید.

از دانش آموزان بخواهید تا به گروههای دو نفره تقسیم شوند و هر کدام مثلث هایی را از کاغذ ببرند و به هم گروه خود بدهند تا مساحت مثلث ها را حساب کند. هر دانش آموز باید پاسخهای دیگری را کنترل کند و با یکدیگر به برطرف کردن اختلافات بپردازند.

توسعه:
دانش آموزان باید با استفاده از اینترنت، در مورد تاریخچه و ابعاد مثلث برمودا تحقیق کنند و گزارشی از یافته های خود را در کلاس ارائه دهند. برخی پرسشها که می توانید از بچه ها بپرسید، عبارتند از:

• آیا مثلث برمودا واقعا یک مثلث است؟ اگر نه، شکل حقیقی آن چیست؟ چرا؟ اگر مثلث نیست، آیا می توانید مساحت کل آن منطقه ای را که مثلث برمودا پوشانده است تخمین بزنید؟
• آیا فکر می کنید که مثلث برمودا یک "مرکز" دارد؟ از کجا می توانید بفهمید؟

ماشین تابع

بهزاد اسلامی

چکیده:
با این فعالیت به دانش‌آموزان کمک می‌شود که مفهوم تابع را از راه تشبیه به ماشین، درک کنند. عضوی از دامنه (ورودی) به داخل ماشین انداخته می‌شود، ماشین تابع عملیاتی روی ورودی انجام می دهد و عضوی از برد (خروجی) که متناسب با آن ورودی است، بیرون انداخته می‌شود. ورودیها و خروجیها در جدول نمایش داده می‌شوند.

اهداف:
دانش‌آموز در طی این درس،

• با مفهوم تابع با کمک تشبیه آن به ماشین، با مفهوم تابع بیشتر آشنا می‌شود.
• خروجی‌های تابع‌های مختلف را با دانستن بعضی از خروجی‌ها، حدس می زند.

وسایل لازم:
فعالیت "ماشین تابع"

روش تدریس:
کلاس را با معرفی فعالیت "ماشین تابع" آغاز کنید و از دانش آموزان بخواهید به حدس الگوها و آزمایش حدسها بپردازند.

در مورد مجموعه‌ تابع‌های ساده‌ای که در این فعالیت وجود دارند، دامنه همیشه از اعداد صحیح از 1 تا 7 تشکیل شده است. دانش آموزان می‌توانند هر چند تا از عددهای 4،3،2،1 را که می‌خواهند، وارد ماشین کنند، و خروجی متناظر را ببینند. سپس باید خروجی‌های متناظر با هریک از عددهای 6،5 و 7 را بنویسند. اگر آنچه دانش آموزان وارد می‌کنند خروجی‌ای که ماشین انتظار دارد نباشد، پیام خطایی با جمله‌ "این با الگو هم‌خوانی ندارد، دوباره سعی کنید!" (“That doesn’t match the pattern, try again”)  روی صفحه دیده می‌شود.

نکته‌ای که باید در کلاس به آن تأکید شود، این است که با چهار مقدار نمی‌توان تابع را به‌طور یکتا مشخص کرد، اما در مورد هریک از تابع‌های این فعالیت، ارتباط تابعی ساده‌ای وجود دارد که دانش‌آموز باید بتواند آن را کشف کند.

توسعه:
 از دانش آموزان بخواهید توابع را به صورت شفاهی بیان کنند و سپس رابطه ریاضی آنها را بنویسند.

مثلا تابع مربوط به ماشینی که به ترتیب اعداد 1 و 2 و 3 و 4 را در ورودی می گیرد و اعداد 2 و 4 و 6 و 8 را در خروجی نشان می دهد، به صورت تابعی که عدد ورودی را می گیرد و دوبرابر می کند بیان کنند و  به صورت 2x بنویسند

تجسم تصویری از یک تصاعد نامتناهی

نیوشا حکمی

چکیده:
این طرح درس با استفاده از به تصویر کشیدن یک سری نامتناهی از اعداد کسری، کمک می کند تا دانش آموزان مفهوم چنین سری اعدادی را مستقیماً درک کنند و به چشم خود ببینند که یک تصاعد با تعداد جمله های نامحدود، می تواند به یک پاسخ متناهی و یک حاصل جمع مشخص ختم شود. ضمن اینکه بین اشکال هندسی و سری های اعداد رابطه برقرار خواهند کرد. علاوه بر اینها، تصویر کردن کسرهای تواندار را نیز تجربه خواهند کرد.
با فاصله از هم جدا کنید.  

توضیح اولیه:
این طرح درس با استفاده از به تصویر کشیدن یک سری نامتناهی از اعداد کسری، کمک می‌کند تا دانش آموزان مفهوم چنین سری اعدادی را مستقیماً درک کنند و مشاهده کنند که یک سری نامتناهی، می‌تواند به یک پاسخ متناهی و یک حاصل جمع مشخص ختم شود. دانش‌آموزان با تکیه بر آموخته‌های خود در این درس می‌توانند بین اشکال هندسی و سری‌های اعداد ارتباط برقرار کنند. افزون بر این‌ها، تصویر کردن کسرهای توان‌دار را نیز تجربه خواهند کرد.

اهداف:
در پایان این جلسه دانش آموزان می‌توانند

• مفهوم تصاعد هندسی نامتناهی را به کمک تصویر درک کنند.

• امکان وجود حاصل‌جمع متناهی و مشخص برای مجموعه‌ا‌ی نامتناهی از اعداد را بپذیرند.

• برای تصاعد‌های هندسی، تجسم تصویری پیدا کنند.

• روابط بین تصاعد‌ها و سری‌های مختلف را بررسی کنند و با این بررسی‌ها حاصل‌جمع بعضی از سری‌های ناآشنا را پیش بینی کنند.

وسایل لازم:

• برگه ی فعالیت A (با تصاویر رنگ نشده)، دو برگ کاغذ شطرنجی و مدادرنگی (برای جلسه‌ی اول).

• کاغذ شطرنجی، مدادرنگی و ماشین حساب (برای جلسه‌ی دوم).

جلسه ی اول
پیش از شروع درس، مطمئن شوید که دانش آموزان مفهوم "‌نامتناهی‌"را از پیش می‌دانند. در صورتی که تشخیص دادید لازم است، با مثال‌هایی مفهوم بی‌نهایت را به آنان یادآوری کنید. مثلاً می‌توانید از تکرار شدن تصویر به تعداد نا‌محدود در دو آینه‌ی روبروی هم استفاده کنید و عملاً به آن‌ها نشان دهید که تصویرها تا بی‌نهایت ادامه دارند. سپس برگه ی فعالیت A را به آنان بدهید و از آن‌ها بخواهید تا قسمت سمت چپ از تصویر اول را رنگ‌آمیزی کنند. از آن‌ها بخواهید تا کسر مربوط به قسمت رنگ شده را در کنار شکل بنویسند.

در گام بعد قسمت سمت چپ از ذوزنقه‌ی کوچکتر در تصویر دوم را نیز رنگ بزنند و کسر مربوط به آن را بنویسند. احتمال دارد در نوشتن این کسر احتیاج به راهنمایی داشته باشند. یاد‌آوری کنید که ذوزنقه‌ی اصلی باید به عنوان واحد و برابر با یک در نظر گرفته شود و ذوزنقه‌ی کوچک  از ذوزنقه‌ی اصلی است. پس از کل رنگ شده است. یعنی ²() که به قبل اضافه شده است. این کار را برای تصویر سوم نیز تکرار کنید و ³() + را در کنار شکل بنویسید. از آنان بخواهید که فرض کنند در تصویر چهارم، n بار تقسیم کردن ذوزنقه به 4 قسمت و رنگ کردن یک قسمت از آن تکرار شده است. پس کسر مربوط به آخرین قسمت ⁿ() خواهد بود، که به کسرهای قبل اضافه می‌شود. حالا مجموع همه‌ی کسرهای به دست آمده را به این شکل روی تخته‌ی کلاس بنویسید:

توضیح دهید که:

مجموع این جملات، در واقع مقدار رنگ شده از ذوزنقه‌ی اصلی را در شکل چهارم نشان می‌دهد. از آن‌ها بخواهید تا تصور کنند این کار را بی شمار بار تکرار کنیم و به تقسیم کردن ذوزنقه‌ها تا بی‌نهایت ادامه دهیم. در این صورت باید سری بالا را به این شکل کامل کنیم:

حالا از دانش آموزان بخواهید تا حاصل جمع نهایی را حدس بزنند. یادآوری کنید که با دقت کردن در تصویر به جواب خواهند رسید. در نهایت (پس از آن‌که دانش‌آموزان پاسخ دادند) پاسخ را در طرف دوم تساوی قرار داده و برای آن‌ها توضیح دهید که «شاید فکر کنید اگر به حد کافی به اضافه کردن جمله‌های این تصاعد ادامه دهیم، مقدار نهایی آن نیز بدون هیچ محدودیتی افزایش خواهد یافت و به بی‌نهایت خواهد رسید. اما در تصویر می‌بینیم که قسمت رنگ شده هیچ‌گاه از ذوزنقه‌ی اول بیرون نخواهد رفت و همواره به شکل هندسی محدود خواهد بود. پس پاسخ این حاصل‌جمع، عددی متناهی است».
حالا مرحله ی بعد را اجرا کنید. به هر دانش آموز یک برگ کاغذ شطرنجی بدهید و از آنان بخواهید که یک مربع به ضلع 32 خانه در آن رسم کنند. سپس یک قطر مربع را رسم کنند و آن را به دو نیمه‌ی مساوی تقسیم نمایند، نیمه ی سمت چپ را رنگ کنند و مثلث رنگ نشده را نیز با یک خط به دو مثلث مساوی تقسیم کنند و باز هم مثلث سمت چپ را رنگ کنند. این تقسیم‌ها و رنگ کردن یک نیمه را تا آنجا که می‌شود ادامه دهند و سعی کنند برای هر مرحله کسر مربوط را بنویسند و آن‌ها را با هم جمع کنند. فرض کنند این تقسیمات را به تعداد نامحدود ادامه دهیم. پس سری مربوط به آن، به این صورت در خواهد آمد:

حالا توجه آنها را به این موضوع جلب کنید که هیچ گاه پیش نمی‌آید که ما ناحیه‌ای خارج از مربع را رنگ آمیزی کنیم. پس باز هم پاسخ این مجموع، یک عدد متناهی خواهد بود؛ اما «چه عددی؟». از دانش آموزان بخواهید تا با نگاه کردن به تصویر، حاصل جمع را حدس بزنند و رابطه را به صورت زیر کامل کنند:

شما نیز رابطه‌ی دوم را درست در زیر رابطه‌ی اول، روی تخته‌ی کلاس بنویسید و بعد این سری جدید را اضافه کنید:

از دانش‌آموزان بپرسید که آیا می‌توانند پاسخ این یکی را پیش بینی کنند؟ بخواهید تا الگویی با توجه به دو تساوی قبل پیدا کنند و  در نهایت پاسخ را حدس بزنند؛ در غیر این صورت خود شما به عنوان یک حدس، عدد را اعلام کنید و از آنان بخواهید تا برای اثبات آن دست به کار شوند. روی کاغذ شطرنجی یک مربع به ضلع 27 خانه رسم کنند و آن را به سه ردیف مساوی (هرکدام به مساحت 27*9 خانه) تقسیم کنند و ردیف پایینی را رنگ بزنند. «این چه کسری است؟». پاسخ را در زیر تصویر ثبت کنید. سپس از آن‌ها بخواهید ردیف وسطی را به سه ستون مساوی (9*9) تقسیم کنند و قسمت سمت راست را رنگ کنند. «حالا چه کسری به کسر قبل اضافه شده؟»؛ از  یا ²(). این عدد را به اضافه کنید و از دانش‌اموزان بخواهید که قسمت وسط را باز هم به سه قسمت مساوی تقسیم کنند و ردیف پایینی را رنگ بزنند. حالا ²() به مجموع قبل اضافه شده است. دانش آموزان باید در مرحله‌ی بعد هم ردیف وسطی را به سه ستون تقسیم کنند و قسمت سمت راست را رنگ بزنند؛ به همین ترتیب این روش را ادامه بدهند و در هر مرحله نیز جمله‌ی جدیدی به تصاعد اضافه کنند:

حالا با توجه به شکل می‌توانند پاسخ مجموع جمله‌ها را در صورتی که کار تقسیم تا بی‌نهایت ادامه پیدا کند، حدس بزنند و تساوی را کامل کنند.

(در صورت نیاز از بچه‌ها بخواهید قطر مربع را رسم کنند تا متوجه شوند که هر قسمت خالی در نیمه‌ی راست مربع، مساوی با یک قسمت رنگ شده از نیمه‌ی سمت چپ آن است).

حالا در مرحله‌ی آخر از دانش‌آموزان بخواهید تا پاسخ این یکی را بر اساس رابطه‌های قبلی حدس بزنند:

که در آن a عدد طبیعی است. احتمالاً دانش‌آموزان در انتها پاسخ را پیشنهاد خواهند کرد.
تنها مشکل باقیمانده این است که آیا این رابطه را با استفاده از تصویر نیز می‌توان نشان داد یا خیر؟ از آنان بخواهید تا درباره این موضوع فکر کنند و اگر پیشنهادی داشتند در جلسه‌ی بعد مطرح کنند.

جلسه ی دوم

برای یادآوری درس قبل، ابتدا سه رابطه ی تصاعدی و سپس رابطه ی چهارم را بر حسب a و n زیر هم روی تخته ی کلاس بنویسید و با دانش آموزان گفتگوی کوتاهی درباره ی آنها و تصاویر هر یک داشته باشید. سپس این پرسش را مطرح کنید که اگر a=5 باشد، رابطه به چه شکلی خواهد بود؟ پس از دریافت پیشنهادات دانش آموزان، این رابطه را روی تخته بنویسید:

از بچه‌ها نیز بخواهید تا پاسخ را پیش‌بینی کنند. با استفاده از الگویی که جلسه پیش درباره آن صحبت شده، احتمالاً پاسخ قابل پیش‌بینی است.
حالا برای اثبات درستی جواب، راه جدیدی را پیشنهاد کنید: از آنان بخواهید تا جمله‌ها را یکی‌یکی در ماشین حساب وارد کنند و با هم جمع کنند. بپرسید که آیا با هر بار اضافه کردن جمله‌ها، حاصل جمع به عددی که حدس زده‌اند نزدیک‌تر می‌شود یا نه؟

سپس از آنها بخواهید تا با استفاده از کاغذ شطرنجی، تصویری رسم کنند که این تساوی را نشان دهد (در صورتی که احساس کردید این کار احتیاج به زمان بیشتری دارد، می توانید این قسمت را به عنوان تمرینی برای کار در خانه، پیشنهاد دهید).

در مرحله‌ی آخر، با استفاده از روابط ریاضی و به کمک دانش‌آموزان، این رابطه را به صورت کلی اثبات کنید:

 فرض می کنیم که عدد S حاصل‌جمع سری مورد نظر ما است. پس داریم:

حالا یک تدبیر هوشمندانه به کار می‌بریم! هر دو طرف این تساوی را در ضرب کرده و جمله‌های مشابه را زیر هم می‌نویسیم:

حالا تساوی دوم را از اولی کم می‌کنیم. نتیجه را مشاهده کنید:

همان پاسخی است که انتظار داشتیم!

پس از این اثبات، دانش‌آموزان را وارد چالش جدیدی کنید: «آیا فکر می کنید صورت این کسرها حتماً باید عدد یک باشد؟! نمی شود هر عدد مثبت یا حتی منفی به جای آن بگذاریم؟». یعنی به این شکل:

(تذکر دهید که همواره باید کم‌تر از یک باشد تا تصاعد ما دارای جواب متناهی و معین شود). حالا از دانش‌آموزان بخواهید تا خودشان با استفاده از محاسبات ریاضی، درستی تساوی بالا را تحقیق کنند.

ارزشیابی:
در جلسه‌ی اول، بررسی برگه‌ی فعالیت و تصویرهایی که در کاغذ شطرنجی رسم شده‌اند برای ارزشیابی کار دانش‌آموزان کافی است. در جلسه‌ی دوم نیز تصویر پیشنهادی آن‌ها برای تصاعد و بعد چگونگی اثبات تصاعد را برای ارزشیابی کار آن‌ها در نظر بگیرید. هم‌چنین اگر دانش‌آموزان برای مجموع جملات تصاعد با قدر نسبت تصویری پیشنهاد کردند، می‌توانید این تصویر را بررسی کنید و در صورت درستی، به دانش‌آموز طراح آن امتیاز تشویقی بدهید.