تجسم تصویری از یک تصاعد نامتناهی

نیوشا حکمی

چکیده:
این طرح درس با استفاده از به تصویر کشیدن یک سری نامتناهی از اعداد کسری، کمک می کند تا دانش آموزان مفهوم چنین سری اعدادی را مستقیماً درک کنند و به چشم خود ببینند که یک تصاعد با تعداد جمله های نامحدود، می تواند به یک پاسخ متناهی و یک حاصل جمع مشخص ختم شود. ضمن اینکه بین اشکال هندسی و سری های اعداد رابطه برقرار خواهند کرد. علاوه بر اینها، تصویر کردن کسرهای تواندار را نیز تجربه خواهند کرد.
با فاصله از هم جدا کنید.  

توضیح اولیه:
این طرح درس با استفاده از به تصویر کشیدن یک سری نامتناهی از اعداد کسری، کمک می‌کند تا دانش آموزان مفهوم چنین سری اعدادی را مستقیماً درک کنند و مشاهده کنند که یک سری نامتناهی، می‌تواند به یک پاسخ متناهی و یک حاصل جمع مشخص ختم شود. دانش‌آموزان با تکیه بر آموخته‌های خود در این درس می‌توانند بین اشکال هندسی و سری‌های اعداد ارتباط برقرار کنند. افزون بر این‌ها، تصویر کردن کسرهای توان‌دار را نیز تجربه خواهند کرد.

اهداف:
در پایان این جلسه دانش آموزان می‌توانند

• مفهوم تصاعد هندسی نامتناهی را به کمک تصویر درک کنند.

• امکان وجود حاصل‌جمع متناهی و مشخص برای مجموعه‌ا‌ی نامتناهی از اعداد را بپذیرند.

• برای تصاعد‌های هندسی، تجسم تصویری پیدا کنند.

• روابط بین تصاعد‌ها و سری‌های مختلف را بررسی کنند و با این بررسی‌ها حاصل‌جمع بعضی از سری‌های ناآشنا را پیش بینی کنند.

وسایل لازم:

• برگه ی فعالیت A (با تصاویر رنگ نشده)، دو برگ کاغذ شطرنجی و مدادرنگی (برای جلسه‌ی اول).

• کاغذ شطرنجی، مدادرنگی و ماشین حساب (برای جلسه‌ی دوم).

جلسه ی اول
پیش از شروع درس، مطمئن شوید که دانش آموزان مفهوم "‌نامتناهی‌"را از پیش می‌دانند. در صورتی که تشخیص دادید لازم است، با مثال‌هایی مفهوم بی‌نهایت را به آنان یادآوری کنید. مثلاً می‌توانید از تکرار شدن تصویر به تعداد نا‌محدود در دو آینه‌ی روبروی هم استفاده کنید و عملاً به آن‌ها نشان دهید که تصویرها تا بی‌نهایت ادامه دارند. سپس برگه ی فعالیت A را به آنان بدهید و از آن‌ها بخواهید تا قسمت سمت چپ از تصویر اول را رنگ‌آمیزی کنند. از آن‌ها بخواهید تا کسر مربوط به قسمت رنگ شده را در کنار شکل بنویسند.

در گام بعد قسمت سمت چپ از ذوزنقه‌ی کوچکتر در تصویر دوم را نیز رنگ بزنند و کسر مربوط به آن را بنویسند. احتمال دارد در نوشتن این کسر احتیاج به راهنمایی داشته باشند. یاد‌آوری کنید که ذوزنقه‌ی اصلی باید به عنوان واحد و برابر با یک در نظر گرفته شود و ذوزنقه‌ی کوچک  از ذوزنقه‌ی اصلی است. پس از کل رنگ شده است. یعنی ²() که به قبل اضافه شده است. این کار را برای تصویر سوم نیز تکرار کنید و ³() + را در کنار شکل بنویسید. از آنان بخواهید که فرض کنند در تصویر چهارم، n بار تقسیم کردن ذوزنقه به 4 قسمت و رنگ کردن یک قسمت از آن تکرار شده است. پس کسر مربوط به آخرین قسمت ⁿ() خواهد بود، که به کسرهای قبل اضافه می‌شود. حالا مجموع همه‌ی کسرهای به دست آمده را به این شکل روی تخته‌ی کلاس بنویسید:

توضیح دهید که:

مجموع این جملات، در واقع مقدار رنگ شده از ذوزنقه‌ی اصلی را در شکل چهارم نشان می‌دهد. از آن‌ها بخواهید تا تصور کنند این کار را بی شمار بار تکرار کنیم و به تقسیم کردن ذوزنقه‌ها تا بی‌نهایت ادامه دهیم. در این صورت باید سری بالا را به این شکل کامل کنیم:

حالا از دانش آموزان بخواهید تا حاصل جمع نهایی را حدس بزنند. یادآوری کنید که با دقت کردن در تصویر به جواب خواهند رسید. در نهایت (پس از آن‌که دانش‌آموزان پاسخ دادند) پاسخ را در طرف دوم تساوی قرار داده و برای آن‌ها توضیح دهید که «شاید فکر کنید اگر به حد کافی به اضافه کردن جمله‌های این تصاعد ادامه دهیم، مقدار نهایی آن نیز بدون هیچ محدودیتی افزایش خواهد یافت و به بی‌نهایت خواهد رسید. اما در تصویر می‌بینیم که قسمت رنگ شده هیچ‌گاه از ذوزنقه‌ی اول بیرون نخواهد رفت و همواره به شکل هندسی محدود خواهد بود. پس پاسخ این حاصل‌جمع، عددی متناهی است».
حالا مرحله ی بعد را اجرا کنید. به هر دانش آموز یک برگ کاغذ شطرنجی بدهید و از آنان بخواهید که یک مربع به ضلع 32 خانه در آن رسم کنند. سپس یک قطر مربع را رسم کنند و آن را به دو نیمه‌ی مساوی تقسیم نمایند، نیمه ی سمت چپ را رنگ کنند و مثلث رنگ نشده را نیز با یک خط به دو مثلث مساوی تقسیم کنند و باز هم مثلث سمت چپ را رنگ کنند. این تقسیم‌ها و رنگ کردن یک نیمه را تا آنجا که می‌شود ادامه دهند و سعی کنند برای هر مرحله کسر مربوط را بنویسند و آن‌ها را با هم جمع کنند. فرض کنند این تقسیمات را به تعداد نامحدود ادامه دهیم. پس سری مربوط به آن، به این صورت در خواهد آمد:

حالا توجه آنها را به این موضوع جلب کنید که هیچ گاه پیش نمی‌آید که ما ناحیه‌ای خارج از مربع را رنگ آمیزی کنیم. پس باز هم پاسخ این مجموع، یک عدد متناهی خواهد بود؛ اما «چه عددی؟». از دانش آموزان بخواهید تا با نگاه کردن به تصویر، حاصل جمع را حدس بزنند و رابطه را به صورت زیر کامل کنند:

شما نیز رابطه‌ی دوم را درست در زیر رابطه‌ی اول، روی تخته‌ی کلاس بنویسید و بعد این سری جدید را اضافه کنید:

از دانش‌آموزان بپرسید که آیا می‌توانند پاسخ این یکی را پیش بینی کنند؟ بخواهید تا الگویی با توجه به دو تساوی قبل پیدا کنند و  در نهایت پاسخ را حدس بزنند؛ در غیر این صورت خود شما به عنوان یک حدس، عدد را اعلام کنید و از آنان بخواهید تا برای اثبات آن دست به کار شوند. روی کاغذ شطرنجی یک مربع به ضلع 27 خانه رسم کنند و آن را به سه ردیف مساوی (هرکدام به مساحت 27*9 خانه) تقسیم کنند و ردیف پایینی را رنگ بزنند. «این چه کسری است؟». پاسخ را در زیر تصویر ثبت کنید. سپس از آن‌ها بخواهید ردیف وسطی را به سه ستون مساوی (9*9) تقسیم کنند و قسمت سمت راست را رنگ کنند. «حالا چه کسری به کسر قبل اضافه شده؟»؛ از  یا ²(). این عدد را به اضافه کنید و از دانش‌اموزان بخواهید که قسمت وسط را باز هم به سه قسمت مساوی تقسیم کنند و ردیف پایینی را رنگ بزنند. حالا ²() به مجموع قبل اضافه شده است. دانش آموزان باید در مرحله‌ی بعد هم ردیف وسطی را به سه ستون تقسیم کنند و قسمت سمت راست را رنگ بزنند؛ به همین ترتیب این روش را ادامه بدهند و در هر مرحله نیز جمله‌ی جدیدی به تصاعد اضافه کنند:

حالا با توجه به شکل می‌توانند پاسخ مجموع جمله‌ها را در صورتی که کار تقسیم تا بی‌نهایت ادامه پیدا کند، حدس بزنند و تساوی را کامل کنند.

(در صورت نیاز از بچه‌ها بخواهید قطر مربع را رسم کنند تا متوجه شوند که هر قسمت خالی در نیمه‌ی راست مربع، مساوی با یک قسمت رنگ شده از نیمه‌ی سمت چپ آن است).

حالا در مرحله‌ی آخر از دانش‌آموزان بخواهید تا پاسخ این یکی را بر اساس رابطه‌های قبلی حدس بزنند:

که در آن a عدد طبیعی است. احتمالاً دانش‌آموزان در انتها پاسخ را پیشنهاد خواهند کرد.
تنها مشکل باقیمانده این است که آیا این رابطه را با استفاده از تصویر نیز می‌توان نشان داد یا خیر؟ از آنان بخواهید تا درباره این موضوع فکر کنند و اگر پیشنهادی داشتند در جلسه‌ی بعد مطرح کنند.

جلسه ی دوم

برای یادآوری درس قبل، ابتدا سه رابطه ی تصاعدی و سپس رابطه ی چهارم را بر حسب a و n زیر هم روی تخته ی کلاس بنویسید و با دانش آموزان گفتگوی کوتاهی درباره ی آنها و تصاویر هر یک داشته باشید. سپس این پرسش را مطرح کنید که اگر a=5 باشد، رابطه به چه شکلی خواهد بود؟ پس از دریافت پیشنهادات دانش آموزان، این رابطه را روی تخته بنویسید:

از بچه‌ها نیز بخواهید تا پاسخ را پیش‌بینی کنند. با استفاده از الگویی که جلسه پیش درباره آن صحبت شده، احتمالاً پاسخ قابل پیش‌بینی است.
حالا برای اثبات درستی جواب، راه جدیدی را پیشنهاد کنید: از آنان بخواهید تا جمله‌ها را یکی‌یکی در ماشین حساب وارد کنند و با هم جمع کنند. بپرسید که آیا با هر بار اضافه کردن جمله‌ها، حاصل جمع به عددی که حدس زده‌اند نزدیک‌تر می‌شود یا نه؟

سپس از آنها بخواهید تا با استفاده از کاغذ شطرنجی، تصویری رسم کنند که این تساوی را نشان دهد (در صورتی که احساس کردید این کار احتیاج به زمان بیشتری دارد، می توانید این قسمت را به عنوان تمرینی برای کار در خانه، پیشنهاد دهید).

در مرحله‌ی آخر، با استفاده از روابط ریاضی و به کمک دانش‌آموزان، این رابطه را به صورت کلی اثبات کنید:

 فرض می کنیم که عدد S حاصل‌جمع سری مورد نظر ما است. پس داریم:

حالا یک تدبیر هوشمندانه به کار می‌بریم! هر دو طرف این تساوی را در ضرب کرده و جمله‌های مشابه را زیر هم می‌نویسیم:

حالا تساوی دوم را از اولی کم می‌کنیم. نتیجه را مشاهده کنید:

همان پاسخی است که انتظار داشتیم!

پس از این اثبات، دانش‌آموزان را وارد چالش جدیدی کنید: «آیا فکر می کنید صورت این کسرها حتماً باید عدد یک باشد؟! نمی شود هر عدد مثبت یا حتی منفی به جای آن بگذاریم؟». یعنی به این شکل:

(تذکر دهید که همواره باید کم‌تر از یک باشد تا تصاعد ما دارای جواب متناهی و معین شود). حالا از دانش‌آموزان بخواهید تا خودشان با استفاده از محاسبات ریاضی، درستی تساوی بالا را تحقیق کنند.

ارزشیابی:
در جلسه‌ی اول، بررسی برگه‌ی فعالیت و تصویرهایی که در کاغذ شطرنجی رسم شده‌اند برای ارزشیابی کار دانش‌آموزان کافی است. در جلسه‌ی دوم نیز تصویر پیشنهادی آن‌ها برای تصاعد و بعد چگونگی اثبات تصاعد را برای ارزشیابی کار آن‌ها در نظر بگیرید. هم‌چنین اگر دانش‌آموزان برای مجموع جملات تصاعد با قدر نسبت تصویری پیشنهاد کردند، می‌توانید این تصویر را بررسی کنید و در صورت درستی، به دانش‌آموز طراح آن امتیاز تشویقی بدهید.